【本講主要內(nèi)容】

　　拋物線的定義及相關(guān)概念、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的幾何性質(zhì)

　　【知識(shí)掌握】

　　【知識(shí)點(diǎn)精析】

　　1. 拋物線定義：

　　平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線，定點(diǎn)不在定直線上。它與橢圓、雙曲線的第二定義相仿，僅比值(離心率e)不同，當(dāng)e=1時(shí)為拋物線，當(dāng)0

　　2. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，參數(shù)的幾何意義，是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，掌握不同形式方程的幾何性質(zhì)(如下表)：　　

　　其中為拋物線上任一點(diǎn)。

　　3. 對(duì)于拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為，以簡(jiǎn)化運(yùn)算。

　　4. 拋物線的焦點(diǎn)弦：設(shè)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，直線與的斜率分別為，直線的傾斜角為，則有，，，，，，。

　　說(shuō)明：

　　1. 求拋物線方程時(shí)，若由已知條件可知曲線是拋物線一般用待定系數(shù)法;若由已知條件可知曲線的動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律一般用軌跡法。

　　2. 凡涉及拋物線的弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)、弦的斜率問(wèn)題時(shí)要注意利用韋達(dá)定理，能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算。

　　3. 解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)。

　　【解題方法指導(dǎo)】

　　例1. 已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，且與圓相交的公共弦長(zhǎng)等于，求此拋物線的方程。

　　解析：設(shè)所求拋物線的方程為或

　　設(shè)交點(diǎn)(y1>0)

　　則，∴，代入得

　　∴點(diǎn)在上，在上

　　∴或，∴

　　故所求拋物線方程為或。

　　例2. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且∥軸，證明直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。

　　解析：證法一：由題意知拋物線的焦點(diǎn)　　故可設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線的方程為　

   　由，消去得

　　設(shè)，則

　　∵∥軸，且在準(zhǔn)線上

　　∴點(diǎn)坐標(biāo)為

　　于是直線的方程為

　　要證明經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，只需證明，即證　　注意到知上式成立，故直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。