拋物線的簡單幾何性質(zhì)

　　(一)教學(xué)目標(biāo)：

　　1.掌握拋物線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率等幾何性質(zhì);

　　2.能根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)對拋物線方程進(jìn)行討論，在此基礎(chǔ)上列表、描點(diǎn)、畫拋物線圖形;

　　3.在對拋物線幾何性質(zhì)的討論中，注意數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化 .

　　(二)教學(xué)重點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)及其運(yùn)用

　　(三)教學(xué)難點(diǎn)：拋物線幾何性質(zhì)的運(yùn)用

　　(四)教學(xué)過程：

　　一、復(fù)習(xí)引入：(學(xué)生回顧并填表格)

　　1.拋物線定義：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線. 定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線 叫做拋物線的準(zhǔn)線.

　　圖形

　　方程

　　焦點(diǎn)

　　準(zhǔn)線

　　2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

　　相同點(diǎn)：(1)拋物線都過原點(diǎn);(2)對稱軸為坐標(biāo)軸;(3)準(zhǔn)線都與對稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)在對稱軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱 它們到原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)絕對值的 ，即 .

　　不同點(diǎn)：(1)圖形關(guān)于x軸對稱時，x為一次項(xiàng)，y為二次項(xiàng)，方程右端為 、左端為 ;圖形關(guān)于y軸對稱時，x為二次項(xiàng)，y為一次項(xiàng)，方程右端為 ，左端為 . (2)開口方向在x軸(或y軸)正向時，焦點(diǎn)在x軸(或y軸)的正半軸上，方程右端取正號;開口在x軸(或y軸)負(fù)向時，焦點(diǎn)在x軸(或y軸)負(fù)半軸時，方程右端取負(fù)號.

　　二、講解新課：

　　類似研究雙曲線的性質(zhì)的過程，我們以 為例來研究一下拋物線的簡單幾何性質(zhì)：

　　1.范圍

　　因?yàn)閜>0，由方程 可知，這條拋物線上的點(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y)滿足不等式x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè);當(dāng)x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.

　　2.對稱性

　　以-y代y，方程 不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸.

　　3.頂點(diǎn)

　　拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).在方程 中，當(dāng)y=0時，x=0，因此拋物線 的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn).

　　4.離心率

　　拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示.由拋物線的定義可知，e=1.

　　對于其它幾種形式的方程，列表如下：(學(xué)生通過對照完成下表)

　　標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形 頂點(diǎn) 對稱軸 焦點(diǎn) 準(zhǔn)線 離心率

　　注意強(qiáng)調(diào) 的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.

　　思考：拋物線有沒有漸近線?(體會拋物線與雙曲線的區(qū)別)