6.四面體ABCD的中心是D0 ，分別過A、B、C作 DD0 的平行線，這些線分別交平面BCD、CAD、ABD于點 A0、 B0、 C0，求證：ABCD的體積是A0B0C0D0的三分之一;再問如果 D0 為三角形ABC內的任意一點，結果是否仍然成立?

　　第7屆IMO

　　1. 試找出所有位于區(qū)間[0, 2pi] 的x使其滿足

　　2 cos x ≤ | √(1 + sin 2x) - √(1 - sin 2x)| ≤ √2 .

　　2. 如下方程組的系數(shù) aij ，

　　a11x1 + a12 x2+ a13 x3 = 0

　　a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0

　　a31x1 + a32x2 + a33x3 = 0

　　滿足：

　　a. a11、 a22、 a33 是正數(shù)，其余是負數(shù);

　　b. 每個方程中的系數(shù)之和是正的。

　　求證：該方程組的有唯一的解 x1 = x2 = x3 = 0。

　　3. 四面體ABCD被平行于AB、CD邊的一個平面分割成兩部分，并且該平面到AB邊的距離是該平面到CD邊距離的 k倍。試求出 這兩部分的體積比。

　　4. 四個實數(shù)，它們中的任何三個的乘積再加上第四個數(shù)都等于2，求出這四個數(shù)的所有可能值。

　　5. 三角形OAB中的角O是銳角，M是邊AB上任意一點，從M向OA、OB邊引垂線，垂足分別為P、Q。設三角形OPQ的垂心為，求出當M在AB邊上移動時點H的軌跡;若M在三角形OAB內部移動是H的軌跡又是什么?

　　6. 平面上給定了 n>2個點，任何兩點之間都有線斷相連，這些線斷長度中的最大值被定義為這個點集的直徑，求證：長度為直徑的線斷至多有n條。

　　第8屆IMO

　　1. 在一次數(shù)學競賽中共有A、B、C三道題，25名參賽者每人至少答對了一題。在所有沒有答對A的學生中，答對B的人數(shù)是答對C的人數(shù)的兩倍，只答對問題A的人數(shù)比既答對A又至少答對其他一題的人數(shù)多1。又已知在所有恰好答對一題的參賽者中，有一半沒有答對A。請問有多少學生只答對B?

　　2. 三角形ABC，如果，

　　BC + AC = tan C/2 (BC tan A + AC tan B).

　　則該三角形為等腰三角形。

　　3. 求證：從正四面體的內切圓圓心到各頂點距離之和小于從空間中任意其他點到各頂點距離之和。

　　4. 對任何自然數(shù) n以及滿足 sin 2nx 不為 0 的實數(shù)x，求證：

　　1/sin 2x + 1/sin 4x + ... + 1/sin 2nx = cot x - cot 2nx.

　　5. ai (i=1,2,3,4)是互不相同的實數(shù)，解方程組(i=1,2,3,4)

　　|ai - a1| x1 + |ai - a2| x2 + |ai - a3| x3 + |ai - a4| x4 = 1。

　　6. 在三角形ABC的邊BC、CA、AB上分別任選三內點K、L、M，求證三角形AML、BKM、CLK之中至少有一個的面積小于活等于三角形ABC的四分之一。

　　第9屆IMO

　　1. 平行四邊形ABCD，邊長 AB = a, AD = 1, 角 BAD = A, 已知三角形ABD是一個銳角三角形，求證以A,B,C,D為圓心半徑為1的四個圓能夠覆蓋此平行四邊形的充要條件是

　　a ≤ cos A + √3 sin A.

　　2. 若四面體有且僅有一邊大于1，求證其體積 ≤ 1/8.

　　3. k, m, n 是自然數(shù) 且 m + k + 1 是一個大于 n+1 的素數(shù)，令cs = s(s+1)，求證

　　(cm+1 - ck)(cm+2 - ck) ... (cm+n - ck)

　　可被乘積 c1c2 ... cn整除。

　　4. 任意兩個銳角三角形 A0B0C0 和 A1B1C1 ?？紤]所有與三角形 A1B1C1相似且外接于三角形 A0B0C0 的所有三角形ABC(即BC邊包含A0，CA邊包含B0，AB邊包含 C0)，試構造出滿足此條件的面積最大的三角形ABC。

　　5. a1, ... , a8 是不全為0的實數(shù)，令 cn = a1n + a2n + ... + a8n ( n = 1, 2, 3, ... )，如果數(shù)列{ cn }中有無窮多項等于0，試求出所有使 cn=0 的自然數(shù)n。

　　6. 在一次運動會中，連續(xù) n 天內(n>1)一共頒發(fā)了 m 塊獎牌。在第一天，頒發(fā)了一塊獎牌以及剩下 m-1 個中的 1/7;在第二天頒發(fā)了兩塊獎牌以及剩下的 1/7;依此類推。在最后一天即第 n 天，剩下的n塊獎牌全部頒發(fā)完畢。問該運動會共進行了幾天，一共頒發(fā)了多少塊獎牌?