a2 + b2 + c2 >= 4√3 A.

　　并求出等號何時成立。

　　3. 解方程 cosnx - sinnx = 1, 其中n是一個自然數(shù)。

　　4. P是三角形ABC內(nèi)部一點，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求證AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一個不大于2，也至少有一個不小于2。

　　5. 作三角形ABC使得 AC=b, AB=c，銳角AMB = ?,其中M是線斷BC的中點。求證這個三角形存在的充要條件是

　　b tan(?/2) <= c < b.

　　又問上式何時等號成立。

　　6. 三個不共線的點A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一側(cè)。在p上任意取三個點A', B', C'， A'', B'', C''設(shè)分別是邊AA', BB', CC'的中點，O是三角形A''B''C''的重心。問，當(dāng)A',B',C'變化時，O的軌跡是什么?

　　第4屆IMO

　　1. 找出具有下列各性質(zhì)的最小正整數(shù) n：它的最后一位數(shù)字是6，如果把最后的6去掉并放在最前面所得到的數(shù)是原來數(shù)的4被。

　　2. 試找出滿足下列不等式的所有實數(shù) x：

　　√(3-x)- √(x+1) > 1/2.

　　3. 正方體 ABCDA'B'C'D'(ABCD、A'B'C'D'分別是上下底)。一點 x沿著正方形ABCD的邊界以方向ABCDA作勻速運動;一點Y以同樣的速度沿著正方形B'C'CB的邊界以方向B'C'CBB'運動。點X、Y在同一時刻分別從點A、B'開始運動。求線斷XY的中點的軌跡。

　　4. 解方程cos2x + cos22x + cos23x = 1。

　　5. 在圓K上有三個不同的點A、B、C。試在K上再作出一點D使得這四點所形成的四邊形有一個內(nèi)切圓。

　　6. 一個等腰三角形，設(shè)R為其外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑為 r，求證這兩個圓的圓心的距離是√(R(R-2r))。

　　7. 求證：正四面體有5個不同的球，每個球都與這六條邊或其延長線相切;

　　反過來，如果一個四面體有5個這樣的球，則它必然是正四面體。

　　第5屆IMO

　　1. 找出下列方程的所有實數(shù)根(其中 p是實參數(shù))：

　　√(x2-p)+2√(x2-1) = x.

　　2. 給定一點A及線斷BC，設(shè)空間中一點P使得存在線段BC上有一點X滿足 角APX是直角，試求出所有這樣的點P的軌跡。

　　3. 在一個 n邊形中，所有內(nèi)角都相等，邊長依次是

　　a1 >= a2 >= ... >= an，

　　求證：所有邊長都相等。

　　4. 設(shè) y是一個參數(shù)，試找出方程組 xi + xi+2 = y xi+1 (i = 1, ... , 5)的所有解 x1, ... , x5。

　　5. 求證

　　cos pi/7 - cos 2pi/7 + cos 3pi/7 = 1/2.

　　6. 五個同學(xué)A、B、C、D、E參加競賽，一種猜測說比賽結(jié)果的名次依然是ABCDE。但是實際上沒有一位同學(xué)的名次被猜中，而且預(yù)測中名次相鄰的同學(xué)也沒有真的相鄰(例如，C、D兩位同學(xué)名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一種)。還有一種猜測說結(jié)果會是DAECB的順序。實際上是恰好有兩個同學(xué)所得的名次與預(yù)測的一樣;而且有兩對同學(xué)(4個不同的同學(xué))的名次像預(yù)測中的一樣是相連。試討論最后的名次如何?

　　第6屆IMO

　　1. (a) 求所有正整數(shù) n 使得 2n - 1 能被 7整除;

　　(b) 求證不存在正整數(shù) n 使得 2n + 1 能被 7 整除。

　　2. 假設(shè)a、b、c是某三角形的三邊長，求證：

　　a2(b + c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) <= 3abc.

　　3. 三角形ABC的三邊長為別為a、b、c。分別平行于ABC的各邊作三角形ABC內(nèi)切圓的切線，每條切線都在ABC中又切出一個小三角形，再在每個這樣的小三角形中作內(nèi)切圓，求這四個內(nèi)切圓的面積之和(用a,b,c表示)。

　　4.十七個人互相通信，每一個人都和其他人寫信。在他們的信上一共討論有三個不同的話題，每兩個人只討論一個話題，求證：這些人當(dāng)中至少有三個人他們所討論的話題是一樣的。

　　5.平面上有五個點，任意兩點的連線都不平行，也不垂直，現(xiàn)從每一個點向其他四點兩兩連接的直線作垂線，試求出所有這些垂線的交點的最大數(shù)目。